Les défis

Que vaut $n^3 - n$ une fois factorisé ? Regardez ce que les facteurs ont de particulier les uns par rapport aux autres.

On factorise : $n^3 - n = n(n^2-1) = (n-1)\,n\,(n+1)$.

Ce sont trois entiers consécutifs. Parmi trois entiers consécutifs, au moins un est pair, donc le produit est divisible par 2 ; et exactement un est divisible par 3, donc le produit est divisible par 3. Comme 2 et 3 sont premiers entre eux, le produit est divisible par $2 \times 3 = 6$.

La même idée donne d’un coup que le produit de $k$ entiers consécutifs est divisible par $k!$.

Construisez une fonction auxiliaire qui s’annule exactement quand l’égalité demandée est vraie.

Posons $g(x) = f\left(x + \tfrac{1}{2}\right) - f(x)$ sur $\left[0,\tfrac{1}{2}\right]$. Elle est continue comme différence de fonctions continues, et l’égalité cherchée s’écrit $g(c) = 0$.

Calculons la somme des valeurs aux bornes :

$g(0) + g\left(\tfrac{1}{2}\right) = \left[f\left(\tfrac{1}{2}\right) - f(0)\right] + \left[f(1) - f\left(\tfrac{1}{2}\right)\right] = f(1) - f(0) = 0.$

Donc $g(0)$ et $g\left(\tfrac{1}{2}\right)$ sont opposés. Ou bien ils sont tous deux nuls, et $c = 0$ convient ; ou bien ils sont de signes contraires, et le théorème des valeurs intermédiaires donne un $c$ entre eux où $g$ s’annule.

Montrez d’abord que la suite reste bornée, ensuite qu’elle est monotone. La limite se lit alors sur la relation de récurrence.

Majoration. Par récurrence : $u_0 = 1 \le 2$, et si $u_n \le 2$ alors $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n} \le \sqrt{4} = 2$. Donc $u_n \le 2$ pour tout $n$.

Croissance. $u_{n+1}^2 - u_n^2 = 2 + u_n - u_n^2 = -(u_n-2)(u_n+1)$, qui est positif ou nul tant que $0 \le u_n \le 2$. Les termes étant positifs, $u_{n+1} \ge u_n$.

Conclusion. Croissante et majorée, la suite converge vers une limite $\ell \in [1,2]$. En passant à la limite dans la relation, $\ell = \sqrt{2+\ell}$, donc $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, soit $\ell = 2$ ou $\ell = -1$. La limite étant positive, $\ell = 2$.

Deux chemins mènent au but : poser $z = x + iy$ et identifier, ou passer par la forme trigonométrique.

Par la forme trigonométrique. On écrit $i = e^{i\pi/2}$. Les solutions sont donc $z = e^{i\pi/4}$ et $z = e^{i(\pi/4 + \pi)} = -e^{i\pi/4}$, c’est-à-dire

$z = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}\,(1 + i).$

Vérification. $\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1 + 2i + i^2}{2} = \frac{2i}{2} = i$.

Une équation du second degré dans $\mathbb{C}$ a toujours deux solutions ; ici elles sont opposées, ce qui est le cas chaque fois que l’équation s’écrit $z^2 = a$.

Raisonnez par l’absurde : que se passerait-il si aucun mois n’avait trois élèves ?

Supposons que chaque mois compte au plus deux élèves. Il y a douze mois, donc la classe compterait au plus $12 \times 2 = 24$ élèves. Or elle en compte 30, ce qui est contradictoire.

Il existe donc un mois où naissent au moins trois élèves.

C’est le principe des tiroirs : en rangeant $n$ objets dans $k$ tiroirs, un tiroir contient au moins $\lceil n/k \rceil$ objets. Ici $\lceil 30/12 \rceil = 3$.

Écrivez l’équation horaire de la chute libre sans vitesse initiale, puis isolez le temps.

La seule force est le poids, donc l’accélération vaut $g$, constante et verticale. Avec un axe dirigé vers le bas et une vitesse initiale nulle :

$h = \tfrac{1}{2} g t^2 \quad\Longrightarrow\quad t = \sqrt{\frac{2h}{g}}.$

Numériquement, $t = \sqrt{\dfrac{2 \times 20{,}0}{9{,}8}} = \sqrt{4{,}08} \approx 2{,}0\ \mathrm{s}$.

La vitesse au sol vaut $v = g t \approx 9{,}8 \times 2{,}0 \approx 20\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$, soit environ $72\ \mathrm{km\cdot h^{-1}}$.

Remarquez que la masse n’intervient nulle part : c’est tout le propos de la chute libre.

À l’équivalence, les réactifs ont été introduits dans les proportions de l’équation. Écrivez-la d’abord.

La réaction est $\mathrm{H_3O^+ + HO^- \rightarrow 2\,H_2O}$, de coefficients égaux à 1 pour les deux réactifs. À l’équivalence, les quantités de matière introduites sont donc égales :

$C_A V_A = C_B V_B \quad\Longrightarrow\quad C_A = \frac{C_B V_B}{V_A}.$

Numériquement, $C_A = \dfrac{0{,}10 \times 15{,}0}{20{,}0} = 7{,}5 \times 10^{-2}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$.

Les volumes sont en millilitres des deux côtés du quotient : inutile de les convertir, ils se simplifient.

Un pourcentage s’applique toujours à la valeur du moment, pas à la valeur de départ. Travaillez avec des coefficients multiplicateurs.

Une hausse de 20 % multiplie par $1{,}20$ ; une baisse de 20 % multiplie par $0{,}80$. Sur deux ans, le coefficient global est le produit :

$1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96.$

Le prix a donc baissé de 4 % en deux ans. Il n’est pas revenu à sa valeur initiale, et l’ordre des deux variations n’y change rien : la multiplication est commutative.

La raison tient en une phrase : la baisse de 20 % porte sur un prix déjà augmenté, donc elle retire plus que la hausse n’avait ajouté.