La fonction auxiliaire : ce que le TVI demande vraiment

Le théorème des valeurs intermédiaires, tel qu’il est énoncé dans le cours, ne s’applique qu’à une seule question : l’équation $f(x) = 0$ a-t-elle une solution ?

Ouvrez maintenant un sujet d’Examen National. On vous demandera de montrer qu’il existe $c$ tel que $f(c) = ac$, ou tel que $f(c + \tfrac{1}{2}) - f(c) = 2$, ou tel que $pF(a) + qF(b) = (p+q)F(c)$. Aucune de ces égalités n’est de la forme $f(c) = 0$.

L’écart entre les deux est franchi par un seul geste, et c’est ce geste — pas le théorème — qui est réellement évalué.

Le geste

Ramener l’égalité demandée à un zéro, en construisant la fonction dont ce zéro est solution.

Prenons le premier cas. $f$ est continue de $[0;1]$ dans $[0;1]$, et $a \ge 1$. Montrer qu’il existe $c \in [0;1]$ tel que $f(c) = ac$.

L’équation $f(x) = ax$ n’est pas $f(x) = 0$. Mais elle lui est équivalente après un déplacement de tous les termes du même côté :

$$f(x) = ax \iff f(x) - ax = 0$$

Posons donc $g(x) = f(x) - ax$. Cette fonction n’était pas dans l’énoncé : on vient de la fabriquer, et c’est elle qui recevra le théorème.

Il reste trois vérifications, toujours les mêmes :

1. $g$ est continue sur $[0;1]$, comme somme de deux fonctions continues.
2. $g(0) = f(0) \ge 0$, puisque $f$ est à valeurs dans $[0;1]$.
3. $g(1) = f(1) - a \le 0$, puisque $f(1) \le 1$ et $a \ge 1$.

Donc $g(0) \cdot g(1) \le 0$, et le TVI donne un $c \in [0;1]$ tel que $g(c) = 0$, c’est-à-dire $f(c) = ac$.

Le théorème n’a occupé qu’une ligne. Les trois quarts du travail étaient dans le choix de $g$.

La forme générale

Le cours la donne explicitement, et elle couvre la quasi-totalité des sujets :

Pour montrer qu’il existe $c \in I$ tel que $F(c) = G(c)$, où $F$ et $G$ sont continues sur $I$ :

• considérer $H : x \mapsto F(x) - G(x)$, continue sur $I$ ;
• trouver $\alpha$ et $\beta$ tels que $H(\alpha) \cdot H(\beta) \le 0$.

Le TVI donne alors $c$ tel que $H(c) = 0$, c’est-à-dire $F(c) = G(c)$.

Toute la difficulté d’un exercice se déplace donc vers deux questions concrètes : quelle est ma fonction $H$, et quels sont mes deux points.

Le cas où le domaine change

Troisième exemple du cours, et le plus instructif. $f$ est continue sur $[0;1]$, $f(0) = 0$, $f(1) = 4$. Montrer qu’il existe $c$ tel que

$$f\!\left(c + \tfrac{1}{2}\right) - f(c) = 2$$

La fonction auxiliaire s’impose : $g(x) = f\!\left(x + \tfrac{1}{2}\right) - f(x) - 2$.

Mais sur quel intervalle ? Pour que $g(x)$ existe, il faut à la fois $0 \le x \le 1$ et $0 \le x + \tfrac{1}{2} \le 1$, donc $0 \le x \le \tfrac{1}{2}$. La fonction auxiliaire vit sur $\left[0; \tfrac{1}{2}\right]$, pas sur $[0;1]$.

C’est l’erreur la plus coûteuse de tout le chapitre : appliquer le théorème sur un intervalle où la fonction n’est pas définie. Le raisonnement est alors faux d’un bout à l’autre, quelle que soit la suite.

Sur le bon intervalle, tout tombe :

$$g(0) = f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) - 2 \qquad g\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = 2 - f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\,g(0)$$

Deux valeurs opposées, donc $g(0) \cdot g\!\left(\tfrac{1}{2}\right) \le 0$, sans même connaître $f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)$.

Ce que le correcteur cherche

Quatre lignes, dans cet ordre. Aucune ne peut être sautée :

	Ce qu’il faut écrire
1	La fonction auxiliaire, posée explicitement — « Considérons $g$ définie par… »
2	Son domaine, et pourquoi c’est celui-là
3	Sa continuité, justifiée (somme, produit, composée de fonctions continues)
4	Le signe du produit $g(\alpha) \cdot g(\beta) \le 0$

Le TVI vient après, et il s’écrit en une ligne. Une copie qui applique le théorème sans avoir posé les quatre points perd les points de méthode même quand la conclusion est juste — parce que c’est la méthode, et non la conclusion, qui est notée.

Quand l’énoncé écrit « on pourra considérer la fonction $g$ définie par… », il vous offre l’étape 1. Quand il ne l’écrit pas, elle reste à faire.